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一文讲透一阶系统的系统响应、传递函数和输出响应

作者:时间:2019-01-09来源:网络收藏

  一:一阶应定义

本文引用地址:article/201901/396516.htm

  通常来讲,一阶系统分为电压驱动一阶系统(a)以及电流驱动一阶系统(b),如下图所示:

  


  这两个一阶系统在线路上是完全等效的。它们的阶跃响应如下:

  


  电压或者电流的上升时间在这里定义为从10%开始,上升到90%结束所需要的时间。对于一阶系统,可以推导出上升时间为:

  


  


  带宽定义为AC输入信号激励下幅值降到直流信号幅值的70.7%(或-3dB)所对应的频率。

  一阶系统的表达式如下:

  


  由此可以推导出一阶系统的带宽为:

  


  由以上数学表达式,我们很容易得出一阶系统的上升时间与带宽的关系为:

  


  由此可知,一阶系统的上升时间与带宽成反比,这也就是为什么我们经常说带宽变宽,应速度会变快的理论解释。

  二:一阶系统在低频和高频下的近似响应

  从一阶系统的,我们知道一阶系统的幅值,相角以及群延时的表达式如下:

  


  其中群延时是表征系统中频率信号所经历的延时时间。

  一阶系统只有一个极点,接下来我们看看此一阶系统在低频和高频下的行为是怎么样的,低频或者高频都是相对极点频率所言。对于高频,我们假定wτ?1,此时一阶系统的幅值、相角以及群延时近似为:

  


  因此,对于高频一阶系统,的幅值近似以20dB/十倍频的速度衰减,相移近似为-90度,群延时随着频率的平方减少,频率高的信号比频率低的信号群延时要少。

  对于低频信号,即wτ?1,我们可以近似得到如下传函:

  


  因此,对于低频一阶系统,传递函数的幅值近似为单位1,负的相移与频率近似成线性关系。群延时只与时间常数有关,也就是说,极点会贡献有限的相移。比如频率比极点频率低10倍频的频率点,极点会贡献约-5.7度的相移。如果负的相移过大,就会引起系统振荡。

  三:一阶系统阶跃短时

  接下来,我们研究一下当一阶系统发生阶跃响应后,在起始很短一段时间内(远小于一阶系统时间常数τ)的输出是什么样子的。因为这一结论在实际工程应用中更为常见。

  


  


  我们可以借用指数函数的展开式进行近似计算,由

  


  我们可以得到:

  


  因此,在阶跃响应发生后很短一段时间内,电压看上去随时间是线性变化的。由此可以推出流过电容的电流近似是恒定的:

  


  下面我们就用以上结论分析全桥整流系统的纹波电压。一全桥整流系统如下:

  


  此系统输入为120VRMS/60Hz的正弦波,RC时间常数为(100ohm)(1000uF)=100ms,远远大于输入正弦波整流后馒头波的周期8.3ms(1/120Hz)。因此我们利用上述结论可以比较容易算出电容上的纹波电压:

  输出电压最大值近似为170V;

  流过100ohm电阻的电流近似为常数170V/100ohm=1.7A

  电容会以8.3ms的时间常数进行放电来维持电阻上的电流(此时整流桥四个二极管全部关闭)

  由I=Cdv/dt,我们就可以得到电容上的纹波电压为:

  


  利用LTspice或者Pspice仿真软件,我们可以得到这一结果:

  


  接下来会简单介绍二阶系统。



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